Localiser via une sous-catégorie réflexive : est-ce la seule manière de localiser via une sous-catégorie pleine ?

Souvent en théorie des catégories (et ses différents domaines d’application) on veut inverser “formellement” des morphismes, parce qu’on veut les voir comme des isomorphismes : par exemple les équivalences (faibles) d’homotopie en topologie, les quasi-isomorphismes en algèbre homologique, les morphismes de groupes abéliens dont le noyau et le conoyau sont de torsion en homotopie rationnelle, …

Une méthode qui revient assez souvent est de passer par une sous-catégorie réflexive qui se comporte bien vis-à-vis des morphismes qu’on veut inverser; une situation générique est la suivante :

est une catégorie, une classe de flèches qu’on veut inverser, une sous-catégorie pleine et la composition est une équivalence.

Les auteurices que j’ai lu ont tendance à traiter en toute généralité uniquement le cas où est un adjoint à droite, a.k.a. où est une sous-catégorie réflexive de . Je me demandais donc si c’était parce que la situation générique que je mentionnais impliquait que l’inclusion ait un adjoint à gauche.

J’ai donc réfléchi et la réponse est non (malheureusement), voici un contrexemple simple : on considère l’ensemble ordonné avec , incomparables, et sous-ensemble ordonné; on regarde les deux en tant que catégories.

Alors ne préserve pas le produit ( = borne inférieure) de (c’est dans et dans ) donc n’est pas adjoint à droite. Pourtant la localisation de en est clairement équivalente à via .

Je vais essayer de réfléchir à quelles conditions naturelles imposent que la sous-catégorie soit réflexive, et aussi (c’est une autre question naturelle après cet exemple et mes autres tentatives) à quelles catégories s’obtiennent comme localisations d’ensembles ordonnés (à noter qu’il me semble – je crois me souvenir que mon maître de stage m’avait dit ça – que toute catégorie a une réalisation géométrique homotopiquement équivalente à celle d’un ensemble ordonné, c’est sûrement lié !)